처음 준비된 계수기에 t_n=n/2초 (n=0,1,2,…)로 정확히 등간격 신호가 들어온다. 대기는 τ=1초다. N은 기록한 신호만 대기를 시작하고, E는 버린 신호도 새로 1초 대기를 시작한다. 끝시각에는 기록 가능하다. 관측 종료시각 T는 양의 정수초로 늘린다. 입력은 장기 평균 2개/초이므로 다음 Poisson 입력 공식으로 기록률을 구해도 되는가? 실제 장기 기록률을 먼저 계산하라.
N은 0초를 기록하고 0.5초는 버린 뒤 1초를 기록한다. 같은 상태가 1초마다 반복해 0, 1, 2, …초를 기록한다. 0부터 T초까지 기록 수는 ⌊T⌋+1이어서 장기 기록률은 1개/초다.
E는 0초 뒤 모든 간격 0.5초가 대기 1초보다 짧다. 버린 신호마다 준비 시각이 밀려 첫 신호만 영원히 기록된다. 따라서 T가 커질 때 기록수/T는 1/T로 0에 가까워진다.
둘 다 앞의 Poisson 공식과 다르다. 입력 수/시간은 2에 가까워지지만 입력 간격은 매번 0.5초로 고정되어 Poisson 입력이 아니다. 같은 평균 입력률이라는 조건만으로 간격의 분포까지 맞춘 것은 아니다.
원문은 평균 처리 공식 앞에 stationary Poisson 입력 가정을 둔다. 현재 규칙은 그 가정을 제거한 자체 결정적 사건열이며 실제 측정 데이터가 아니다. 이 반례는 모든 비Poisson 입력이 언제나 공식을 어긴다는 주장까지 하지 않는다.
교사는 평균이라는 요약값과 전체 도착 과정의 정의를 나란히 적게 한다. 긴 시간 관측을 했다는 이유만으로 임의의 입력이 Poisson으로 바뀌지 않는다. 준비 끝시각을 계속 추적하면 E의 출력 0이 입력 0이라는 뜻도 아님을 설명할 수 있다.
착안 원문: Pommé, Fitzgerald and Keightley: Uncertainty of nuclear counting (2015), sections 2.1–2.3. 등간격 도착 시각과 장기 기록률은 자체 결정적 모형의 계산이며 실제 방사성 신호나 측정 기록을 보고한 것이 아니다.