직사각형 안의 가장 큰 원은 중심 하나로 정해질까

0≤x≤6,0≤y≤4인 직사각형의 내부와 경계에 원 전체를 넣는다. 가장 큰 반지름과 가능한 중심 전체를 구하라. 원의 내부도 직사각형 안에 있어야 한다.

중심을(h,k), 반지름을 r>0이라 하면 네 변까지의 거리 때문에

r\le h\le6-r,\qquad r\le k\le4-r.

특히2r≤4여서 r≤2다. r=2일 때

k=2,\qquad 2\le h\le4.

이 모든 중심에서 반지름2인 원이 실제로 직사각형 안에 있으므로 최대 반지름은2다.

중심(3,2)이 가능한 것은 맞다. 하지만(2,2),(4,2)도 같고 그 사이 모든 중심도 가능하다. 반지름의 최댓값이 하나라고 그 값을 주는 중심까지 하나인 것은 아니다.

최대 원은 위·아래 변에 모두 접한다. 중심 h=2일 때만 왼쪽 변에, h=4일 때만 오른쪽 변에 추가로 접한다. 네 변 모두에 접하는 원은 현재 직사각형에 존재하지 않는다. 가로6을 지름으로 쓰면 세로4를 넘는다.

교사는 ‘가장 큰 원을 그려라’는 문항에서 중심을 하나만 적는 답을 어떻게 처리할지 확인한다. 가능한 예 하나를 요구했다면(3,2)로 충분하지만 가능한 중심 전체를 요구했다면 선분 전체가 필요하다.

원과 내부를 넣는 조건도 분명히 한다. 중심이 직사각형 안에 있다는 조건만으로 원 전체가 안에 있지는 않다. 반지름까지 고려한 네 거리 제한을 함께 써야 한다. 그림에서 중앙에 먼저 그린 원이 유일한 정답처럼 보이지 않게 중심의 이동 범위를 표시한다.