타원 x²/9+y²/4=1 위에서 서로 다른 두 점 P,Q를 고른다. PQ의 최댓값과 그때의 두 점을 모두 구하라. 중심에 대하여 반대쪽인 두 점이면 언제나 최댓값이라는 답도 검토한다.
따라서 타원 위 점과 원점 O의 거리는3 이하이다.
P=(3,0), Q=(−3,0)에서 실제 거리6을 얻는다. 순서를 바꾼 경우까지 포함해 이 두 점의 쌍이 최댓값을 준다.
등호 조건을 확인한다. OP=OQ=3이려면 두 y좌표가 모두0이어야 한다. 각 점은(±3,0)이고 서로 달라야 하므로 반대 끝점 두 개가 남는다. 중심을 잇는 두 방향이 반대라는 조건만으로는 충분하지 않다.
예를 들어 P=(0,2), Q=(0,−2)도 중심에 대하여 반대쪽이지만 거리는4다. 중심 대칭은 점의 방향을 정하고 각 점이 중심에서 얼마나 먼지까지 최대라고 보장하지 않는다.
교사는 거리의 제한6을 얻은 풀이에서 실제 점 쌍을 적었는지 확인한다. 제한값을 찾았다고 최댓값을 얻은 것은 아니다. 현재는 끝점 두 개가 있어 그 값이 실제 가능함을 보였다.
또한 최댓값만 묻는 경우와 그때의 점 전체를 묻는 경우는 검산 범위가 다르다. 전체를 요구하면 두 부등식의 등호 조건을 함께 확인해야 다른 중심 대칭 쌍을 정답에 넣지 않는다. 그림에서 타원을 원처럼 그리면 이 차이가 숨을 수 있다.
점의 순서를 바꾸어도 같은 거리이므로 두 순서를 별도 최대 길이로 세지 않는다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Conic Sections Foldable」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.