중심에서 자른 세 조각의 두 각이 같아도 공평하지는 않다
같은 원을 중심에서 세 조각으로 나눈다. 두 조각의 중심각이 같다는 이유로 세 조각의 넓이도 같다고 할 수 있을까? 세 조각이 같은 넓이가 되는 α를 구하고 α=π/4인 경우를 비교하라.
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도형과 시각화
도형의 위치·크기·방향·분할·연속 변화나 실제 시각적 표현을 통해 관계를 이해하는 글.
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세 좌표평면에 접하고 한 점을 지나는 구는 하나일까
세 좌표평면에 모두 접하고(1,1,1)을 지나는 구는 두 개입니다. r=(3±√3)/2가 모두 양수입니다. 중심 좌표의 부호와 반지름 양수 조건을 각각 확인합니다.
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가장 가까운 세 지점으로 나누면 세 영역의 넓이는 같을까
세 지점의 가장 가까운 영역을 그리면 넓이는4,6,6이다. 거리 기준과 넓이 균등을 구별해 보자.
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벡터 두 개의 크기를 곱하면 삼각형 넓이가 바로 나올까
|a|=2,|b|=3,a·b=3인 두 평면벡터의 삼각형 넓이는3√3/2입니다. 두 변 사이 각은60°라 높이에 sin60°가 필요합니다. 길이 곱의 절반3은 수직일 때의 계산입니다.
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원점에서 같은 거리인 두 점에 타원의 접선 수가 같을까
타원 x²/9+y²/4=1, P=(0,5/2),Q=(5/2,0). 같은 원점 거리라도 P는 밖이라 접선2개(y=±x/2+5/2), Q는 안이라0개입니다. 방향을 버린 거리 하나로 타원의 안팎을 판단할 수 없습니다.
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두 원의 내부가 겹친 부분에서 가장 먼 점을 찾는다
x²+y²≤4, (x−2)²+y²≤4의 공통부분과 M=(1,0). u=x−1이면 MP²≤3−2|u|≤3이므로 최댓값√3입니다. (1,±√3)에서 얻습니다. 경계 교점부터 찾기 전에 공통부분 전체의 거리 제한을 확인합니다.
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세 평면으로 본 좌표가 모두 원 안이면 공간에서도 구 안일까
세 조건 x²+y²≤1, y²+z²≤1, z²+x²≤1을 모두 만족해도 공간 거리 OP는 1을 넘을 수 있습니다. P=(1/√2,1/√2,1/√2)에서 OP=√(3/2)입니다. 세 식을 더해 최댓값과 등호 조건을 확인합니다.
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포물선의 현 중점 하나로 두 끝점을 되찾을 수 있을까
포물선 y²=4x의 현 중점 M=(u,v). 서로 다른 끝점이 있으려면4u−v²>0이고 t,s=(v±√(4u−v²))/2로 현 하나를 복원합니다. (2,2)는(0,0)~(4,4), (1,2)는 같은 점이라 현이 아닙니다.
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칠한 작은 정육면체의 수와 칠한 면의 수를 따로 세기
칠한 블록은24개지만 칠한 단위면은52개다. 모서리 블록을 몇 번 세는지 기준을 분리해 보자.
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점을 다섯 개 표시하면 변도 다섯 개일까
A(0,0),M(1,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)을 잇는 도형은4변 직사각형입니다. M은 AB 안의 점이며 방향이 바뀌지 않습니다. 표시 점·연결 선분·실제 변을 구별합니다.
