두 원의 내부와 경계를 함께 포함한 공통부분에서 점 P를 고른다. 두 원은 x²+y²≤4, (x−2)²+y²≤4이고 M=(1,0)이다. MP의 최댓값을 구하라.
두 조건을 모두 만족하려면 더 큰 왼쪽 값도4 이하여야 한다.
따라서 MP≤√3이다. u=0, y=±√3인 두 점은 두 원의 경계에 동시에 있고 실제 공통부분에 속한다. 최댓값은√3이며 그 두 점에서 얻는다.
한 원만 검사하면 M에서 더 멀리 갈 수 있다. 예를 들어(−2,0)은 첫 원의 경계지만 둘째 원에 속하지 않아 후보가 아니다. 두 원의 식을 더해 MP²≤3을 얻어도 등호가 언제 두 원의 조건을 함께 만족하는지 다시 봐야 한다.
반대로 처음부터 두 원의 경계 교점만 계산하는 풀이는 후보를 너무 빨리 줄인다. 이번에는 그 두 교점이 최댓값을 주지만 문제는 공통부분 전체에서 고르는 것이다. 전체의 거리 제한을 먼저 증명해야 경계 교점만 비교해도 된다는 근거가 생긴다.
M 자체도 공통부분에 있어 최솟값은0이다. 경계만을 고르는 문제로 바꾸면 M을 후보로 쓸 수 없다. 교사는 ‘원 위’와 ‘내부와 경계’가 최댓값뿐 아니라 가능한 점과 최솟값을 어떻게 바꾸는지 출제 조건에서 확인한다.
거리의 제곱으로 비교해도 되는 까닭은 거리가 음수가 아니기 때문이다. MP²의 최댓값3을 얻었다면 답은3이 아니라√3이다. 제곱을 비교하는 계산 단계와 최종 거리의 단위를 구별한다.
출처·착안: とろたま, 「【高校数学】体系化６：ベクトル，複素数平面など」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.