점 P=(x,y,z)가 다음 세 조건을 모두 만족한다.
P가 원점 중심 반지름1인 구 안에 있다고 말할 수 있는가? 가능한 OP의 최댓값도 구하라.
세 부등식을 더하면
P=(1/√2,1/√2,1/√2)은 세 조건의 등호를 모두 만족하고 OP=√(3/2)>1이다. 따라서 반지름1 구 안이라는 결론은 거짓이며 최댓값은 √(3/2)다.
각 조건은 한 좌표평면으로 옮긴 점의 원점까지 거리가1 이하라는 뜻이다. 두 성분만 쓴 거리 세 개를 각각 확인하는 일은 세 성분의 제곱합이1 이하인지 확인하는 일과 다르다.
교사는 그림에서 세 원의 그림자를 확인한 다음 실제 점의 거리도 따로 계산하게 한다. 각 그림에서 통과한 점이라고 해서 전체 공간 조건을 자동으로 통과하는 것은 아니다. 이 반례는 세 좌표가 모두 같은 점이라 한 좌표의 실수로 돌릴 수 없다.
최댓값 답에는 합한 부등식과 등호를 만드는 점이 모두 필요하다. 만 구하면 실제로 가능한 값인지 아직 확인하지 않은 것이다. 위 점과 부호를 바꾼 일곱 점도 같은 최댓값을 만든다.
반대로 OP≤1이면 세 조건은 모두 성립한다. 한 방향의 포함은 맞고 그 역은 틀린다는 관계를 정리하면 반례가 어느 주장에 쓰였는지도 분명해진다.
세 부등식의 분모나 단위를 바꾸지 않고 그대로 더한다. 같은 좌표 성분의 제곱이 두 번씩 등장한다는 사실이 를 얻는 근거다.
출처·착안: ひるね, 「「高校数学１０分プログラミング」に挑戦！記録123 数学C「球面の方程式を考える」」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.