세 좌표평면에 접하고 한 점을 지나는 구는 하나일까

세 좌표평면에 모두 접하고 P=(1,1,1)을 지나는 구를 구하라. 반지름 r은 양수다. “세 평면에 접하면 중심은 (r,r,r), 답은 하나”라는 설명을 검토하라.

중심의 각 좌표는 절댓값이 r이어야 한다. 우선 (ε₁r,ε₂r,ε₃r)로 쓰고 ε₁,ε₂,ε₃는 각각1 또는−1로 둔다. P를 구의 식에 넣으면

2r^2-2(\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3)r+3=0.

세 부호의 합은3,1,−1,−3이다. 합이±1이면 판별식이 음수다. 합이−3이면 두 근 모두 음수라 반지름으로 쓸 수 없다. 합이3인 경우만 남고 세 부호가 모두 양수다.

r=\frac{3-\sqrt3}{2}\quad\text{또는}\quad r=\frac{3+\sqrt3}{2}, \qquad (x-r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2=r^2.

두 반지름이 모두 양수이므로 서로 다른 구 두 개다. 중심이 (r,r,r)로 정해지는 결론은 맞지만, 처음부터 음의 좌표를 제외한 이유가 필요하다. 하나의 이차방정식도 여기서는 답 두 개를 만든다.

교사는 접촉 조건으로 얻은 절댓값과 점을 지난다는 조건을 함께 확인한다. 각 좌표의 부호를 양수로 고정하는 일과 반지름을 양수로 제한하는 일은 다르다. 이번에는 다른 부호를 검토한 뒤 제외했기 때문에 중심의 부호를 확정할 수 있다.

두 답 각각에서 중심부터 P까지의 거리 제곱은3(1−r)²이고 r²와 같다. 중심부터 각 좌표평면까지의 거리도 r이다. 작은 구와 큰 구가 같은 점을 지나는 그림을 그려 “접한다”라는 말만으로 크기가 정해지는지 비교한다.

두 반지름을 하나로 합하거나 작은 값만 남길 조건은 없다. 각각 원래의 접촉 조건을 만족하는 별도의 답이다.