포물선 y²=4x 위 서로 다른 두 점을 잇는 선분의 중점이 M=(u,v)라고 한다. 중점만으로 두 끝점이 정해지는지, 그런 선분이 실제 존재하는지 구분하라.
두 점을 P=(t²,2t), Q=(s²,2s)로 적으면
서로 다른 두 점이려면4u−v²>0이다. 이 조건 아래에서는
로 정해진다. 순서를 바꿔도 같은 선분이므로 현은 하나다.
M=(2,2)이면 t,s는0,2이고 끝점은(0,0),(4,4)다. 좌표를 평균하면 실제 중점(2,2)이 된다. M=(1,2)이면 두 값이 모두1이라 같은 점(1,2)을 두 번 고른 것이다. 서로 다른 두 점의 현이라는 조건을 만족하지 않는다.
M=(0,2)은4u−v²<0이어서 실수 t,s가 없다. M이 임의의 평면 점이라고 언제나 현의 중점이 될 수 있는 것은 아니다.
교사는 중점에서 두 끝점을 구하는 식을 제시할 때 제곱근 안의 부호와 서로 다른 점 조건을 함께 적는다. 0인 경우를 음수인 경우와 같은 이유로 제외하지 않는다. 하나는 점이 겹치고 다른 하나는 실수 후보가 없다.
정답의 유일성은 끝점 순서를 구별하지 않는다는 조건까지 포함한다. P,Q의 이름을 바꾸면 두 좌표 순서가 바뀌지만 같은 선분이다. 존재와 개수, 끝점의 이름을 따로 확인하면 역문항의 답을 분명히 적을 수 있다.
중점 M=(2,2)을 포물선식에 넣으면4≠8이다. 중점이 포물선 위에 없다고 끝점이 잘못됐다고 말할 수 없다. 여기서 곡선에 속해야 하는 것은 두 끝점이다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Folding Conic Sections Project」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.