중심이 같은 원과 타원의 교점은 반지름에 따라 몇 개일까

두 도형의 교점 수를 R에 따라 구하라. 두 이차방정식이므로 교점은 최대 두 개라는 설명을 검토한다.

u=x²,v=y²로 두면4u+9v=36, u+v=R²다. 연립하여

두 제곱이 모두0 이상이어야 하므로2≤R≤3일 때만 교점이 있다.

중간 범위에서는 x²,y²가 모두 양수라 x,y 각각 두 부호를 독립적으로 선택한다. 네 점이 생긴다. 끝값에서는 한 좌표가0이므로 그 부호 둘이 같은 점으로 합쳐져 두 점만 남는다.

제곱 좌표 하나와 원래 점 하나는 다르다

u,v는 한 쌍으로 정해져도 x,y는 한 점으로 정해지지 않는다. 반대로 u나v가 음수인 경우에는 그 연립해를 실수 좌표의 교점으로 읽을 수 없다.

R=√5에서는 x²=9/5,y²=16/5이므로(±3/√5,±4/√5)의 네 교점을 직접 확인할 수 있다. R=2의 교점은(0,±2), R=3에서는(±3,0)이다.

해설에서는 제곱 좌표의 연립해·부호별 점·도형 위 검산을 다른 줄에 둔다. 변수를 제곱으로 바꾼 뒤 해의 개수를 그대로 옮긴 답을 찾을 수 있다. 원과 직선의 최대 두 교점이라는 성질도 두 곡선에 자동 적용하지 않는다.

반지름을2에서 조금 키웠을 때 기존 두 교점이 각각 좌우로 나뉘는 그림도 그려 본다. 이때 교점 수가 갑자기4가 되어도 좌표식은 같은 식을 쓴다. 두 부호가0에서 겹치는 경계의 역할을 질문하면 이차식의 차수만 보고 답한 풀이를 검토할 수 있다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Classifying Conic Sections Flow Chart」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.