A=(0,0),B=(2,0),C_t=(t,1)을 지나는 원을 t가 모든 실수로 변할 때 생각한다. 중심 O=(h,k)는 어디를 움직이는가?
“중심의 자취는 직선 x=1 전체”라는 답에서 빠진 조건을 찾는다.
C_t와 A까지 거리도 같아야 한다. h=1을 넣으면
따라서 가능한 중심은 x=1,y≥0인 부분이다. 아래쪽 절반은 나오지 않는다.
필요한 조건과 실제 나오는 범위
x=1은 A,B까지 같은 거리라는 필요한 조건이다. 하지만 모든 중심 후보가 C_t를 지나는 원을 만들 수는 없다. 예를 들어(1,−1)은 어떤 t에도 위 식을 만족하지 않는다.
반대로 k≥0이면 t=1±√(2k)를 택할 수 있다. 이때 C_t는 y=1에 있어 A,B와 한 직선에 있지 않고, 원의 반지름√(1+k²)도 양수다. 그래서 위쪽 부분의 모든 점이 실제로 중심이 된다는 확인까지 가능하다.
k=0에서는 t=1 하나지만 k>0에서는 서로 다른 두 t가 같은 원을 만든다. 점 C가 다르게 움직여도 중심이 항상 다르게 움직이지 않는다. 원을 정하는 조건과 입력 t를 복원하는 조건도 다르다.
학생 답안은 x=1까지의 계산을 유지하고 세 번째 거리식을 추가하게 한다. 자취 문제를 준비할 때 후보가 만족해야 할 조건뿐 아니라 그 조건의 모든 후보를 실제 입력으로 만들 수 있는지도 따로 질문한다.
원이 하나로 정해진다는 말은 움직이는 점의 모든 위치에서 각각 하나라는 뜻이다. 서로 다른 위치가 같은 원을 만드는 가능성까지 없애는 말이 아니므로 입력과 중심의 대응을 표로 확인하게 한다.
출처·착안: コペルくんwithアヤ先生, 「３点を通る円はただ１つに決まる？ 垂直二等分線の不思議」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.