수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

평면에서 각 거리의 최솟값을 골라도 합의 최솟값일까

P(0,0,2), Q(4,0,3), 같은 X는z=0 위입니다. 개별 최소거리2와3을 같은X에서 동시에 얻지 못합니다. Q′=(4,0,−3)을 쓰면 합≥√41이고 X=(8/5,0,0)에서 달성합니다. 실제 최솟값은5가 아닌√41입니다.

P(0,0,2),Q(4,0,3),X∈{z=0}P(0,0,2),\qquad Q(4,0,3),\qquad X\in\{z=0\}

PX+XQ의 최솟값을 구하자. 각 점에서 평면까지의 거리 2와 3을 더해 5라고 쓴 답안은 맞을까?

두 수선의 발은(0,0,0),(4,0,0)으로 다르다. 같은 X에서 두 거리를 동시에 최소로 만들 수 없다. Q의 대칭점Q′=(4,0,−3)을 쓰면

PX+XQ=PX+XQ′≥PQ′=41. PX+XQ=PX+XQ'\ge PQ'=\sqrt{41}.

선분 PQ′가 평면과 만나는 X=(8/5,0,0)에서 등호가 성립하므로 최솟값은√41이다.

X를 두 수선의 발로 각각 고정하면 합은 7, √20+3으로 더 크다. 부등식만 쓰지 않고 등호가 되는 한 점도 남기게 하자. 두 거리의 점을 X,Y로 따로 고르게 바꾸면 5가 가능한 다른 문항이 된다.

출처·착안: Ben Orlin, 「Errors in Math with Bad Drawings」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.