넓이는 그대로인데 직사각형이 아니게 된 그림
직사각형 A(0,0), B(2,0), C(2,1), D(0,1)을 (x,y)→(x+2y,y)로 바꿉니다. 새 도형의 넓이도 2지만 이웃한 변의 내적은 4입니다. 넓이를 보존했다고 직각도 보존한 것은 아닙니다.
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수업 설계
학생 답안과 교사의 질문을 통해 수학 수업을 설계하는 이야기
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세 변의 중점을 알고, 원래 삼각형을 되찾을 수 있을까
AB, BC, CA의 중점이 D(1,1), E(4,1), F(2,3)입니다. 꼭짓점은 A(−1,3), B(3,−1), C(5,3)으로 복원됩니다. ABC의 넓이는 12, DEF는 3입니다. 중점 조건 세 개를 함께 씁니다.
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네 꼭짓점은 같은데, 연결 순서도 생략해도 될까
A(0,0), B(4,0), C(4,3), D(0,3)입니다. ABCD는 직사각형이지만 ACBD로 이으면 변이 (2,1.5)에서 교차합니다. 같은 점 목록과 같은 도형은 다릅니다.
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대각선이 수직인 사각형, 네 변의 길이도 같을까
A(−2,0), B(0,1), C(3,0), D(0,−1)에서 대각선은 수직입니다. 그러나 변 길이의 제곱은 5와 10으로 달라 마름모가 아닙니다. 대각선의 중점도 서로 다릅니다.
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두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이라고 할까
A(0,0), B(4,0), C(3,2), D(1,2)를 순서대로 잇습니다. 두 대각선 길이는 모두 √13이지만 AB·AD=4라 직사각형이 아닙니다. 대각선 길이 외에 평행사변형 조건도 확인합니다.
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영벡터가 아닌 두 벡터, 계수도 각각 비교할 수 있을까
실수s,t와 벡터 a=(1,2), b=(2,4)에서 sa+tb=a+b는 s+2t=3입니다. 해는(s,t)=(3−2t,t)로 여러 개입니다. b=(2,3)으로 바꾸면 두 성분식에서 s=t=1만 남습니다. 영벡터가 아닌 조건과 서로 실수배가 아닌 조건을 구별합니다.
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3과 4인 두 벡터를 더하면 크기도 7일까
a=(3,0), b=(0,4)이면 합의 크기는5입니다. 두 크기3,4를 유지하며 방향을 바꾸면 합의 크기는1~7입니다. 반대 방향1, 수직5, 같은 방향7이므로 길이만 더한7을 모든 경우의 답으로 쓰지 않습니다.
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−2a의 크기를 −10이라고 적은 답안
a=(3,4), b=−2a=(−6,−8)입니다. b의 크기는−10이 아니라10이고, 같은 방향의 단위벡터는(−3/5,−4/5)입니다. (3/5,4/5)는 크기1이지만 방향이 반대입니다.
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b−a의 화살표는 A에서 B로 갈까, B에서 A로 갈까
a=OA=(2,1), b=OB=(−1,3)이면 AB=(−3,2), BA=(3,−2)입니다. 둘 다 크기는 √13이지만 방향은 반대입니다. 끝점에서 시작점을 빼는 순서를 표시합니다.
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화살표의 시작점이 다른데 같은 벡터라고 할 수 있을까
A(1,2), B(4,6), C(−2,1), D(1,5)를 같은 좌표평면에 표시합니다. AB=CD=(3,4), 두 벡터의 크기는5지만 B와D는 같은 점이 아닙니다. 크기·방향의 같음과 끝점 좌표의 같음을 구별합니다.
