쌍곡선과 교점이 하나인 직선, 반드시 접선일까
쌍곡선 x²−y²=1과 직선 y=x−1은 (1,0)에서만 만납니다. 교점 하나라는 이유만으로 접선이라고 결론 내릴 수 없습니다. 실제 접선 x=1과 비교합니다.
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수업 설계
학생 답안과 교사의 질문을 통해 수학 수업을 설계하는 이야기
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제곱항이 하나라는 이유만으로 포물선이라고 할까
A는 x²+2x−4y=3, B는 x²+2x=3입니다. A는 (x+1)²=4(y+1)인 포물선이고, B는 x=1 또는 x=−3인 두 세로선입니다. 제곱항 개수뿐 아니라 제곱되지 않은 y의 일차항이 남는지도 확인합니다.
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x²의 계수가 양수인데, 꼭짓점은 위아래에 있다
x²−y²+2x−4y=0에서 x²의 계수가 양수라고 방향을 바로 정할 수 없습니다. 완전제곱을 만들면 (y+2)²−(x+1)²=3입니다. 상수까지 옮긴 표준형으로 판단합니다.
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타원 위에서 초점까지 가장 가까운 점은 장축의 끝일까
타원 x²/25+y²/9=1과 초점 F(4,0)을 줍니다. PF의 최솟값은 1, 최댓값은 9입니다. 원점까지의 거리 OP는 3부터 5까지입니다. 어느 점까지의 거리인지 먼저 표시합니다.
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접기 전 원의 중심이, 접은 타원의 중심도 될까
O(0,0), F(4,0)에서 PO+PF=6입니다. 중심은 O가 아니라 (2,0)이고, 타원의 방정식은 (x−2)²/9+y²/5=1입니다. 거리합 6을 반지름으로 읽은 원의 식과 비교합니다.
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판에 1을 추가하면 언젠가 비울 수 있는 판이 될까
공정한 두 주사위를 각 눈과 회별로 독립적으로 100회 던집니다. 합에 해당하는 말을 없애면 1에 둔 말은 절대 없어지지 않습니다. 2에 둔 말을 없앨 확률은 1−(35/36)^100입니다. 유한한 횟수를 늘려도 성공을 보장하지는 않습니다.
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다음에 말 하나 뺄 확률과 두 번 안에 판을 비울 확률
판 A에는 7에 말 하나, 판 B에는 6과 8에 말이 하나씩 있습니다. 공정한 두 주사위의 눈과 각 회의 시행은 모두 독립입니다. 합에 해당하는 말을 없앨 때 1회 제거 확률은 1/6과 5/18, 2회 안에 모든 말을…
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두 사람이 같은 지시를 따르면 만날 확률은 달라진다
두 사람이 0에서 시작해 3회 각각 ±1씩 움직입니다. 방법 A는 한 공정한 동전의 독립적인 3회 결과를 함께 쓰고, 방법 B는 각자의 공정한 동전을 모두 독립적으로 던집니다. 마지막 위치가 같을 확률은 A가 1, B가 5/16입니다. B에서…
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마지막에 원점인 것과 중간에 원점을 지난 것은 다르다
0에서 시작해 공정한 동전을 독립적으로 4번 던져 앞면이면 +1, 뒷면이면 −1씩 움직입니다. 마지막 위치가 0일 확률은 3/8, 출발 뒤 한 번이라도 0을 방문할 확률은 5/8입니다. 시작점을 방문 횟수에 넣지 않습니다.
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P(X=E(X))=0이면 식 자체가 잘못된 것일까
X가 0과 2를 각각 확률 1/2로 갖는다면 E(X)=1이지만 P(X=E(X))=0입니다. 평균이 가능한 값일 필요는 없습니다. 사건을 쓰지 않은 P(X)와, 확률값끼리의 합집합 표기도 함께 검토합니다.
