P(X=E(X))=0이면 식 자체가 잘못된 것일까

P(X=0)=P(X=2)=\frac12,\qquad E(X)=1

확률변수 X는 0과 2만 값으로 갖는다. 다음 세 표현을 검토하라. A: P(X), B: P(X=E(X)), C: P(X=0)∪P(X=2). B의 값이0이면 B도 잘못된 표현인가?

B는 P(X=1)이라는 사건의 확률이므로 올바른 표현이며 값은0이다. X가1을 취하지 않으므로 그 사건은 일어나지 않는다. 확률이0이라는 계산 결과와 기호가 어떤 사건도 지정하지 못한 것은 다르다.

이 문항의 A는 X가 어떤 조건을 만족한다는 사건을 적지 않았다. 값을 취하는 확률변수의 이름만 P 안에 넣으면 어떤 확률을 구하려는지 정해지지 않는다. P(X=0)이나 P(X≤1)처럼 조건을 추가해야 한다.

C에서는 각각1/2인 두 숫자 사이에 집합 연산인 합집합 기호를 썼다. 사건의 합집합을 뜻하려면 P({X=0}∪{X=2})처럼 사건을 P 안에서 연결해야 하며, 이 값은1이다.

후속 질문은 B를 P(X≤E(X))로 바꾸어 값을 구하게 한다. 평균1 이하인 경우는X=0이어서 확률1/2다. 사건의 조건을 등호에서 부등호로 바꿀 때 대상이 어떻게 달라지는지 설명하게 한다.