직선 ℓ과 쌍곡선의 교점을 구하라. “교점이 하나이므로 ℓ은 접선이다”라는 예시 답안을 검토하라.
교점은 (1,0) 하나다. 그러나 이 점에서 쌍곡선의 접선은 x=1이다. ℓ은 그 접선과 다르므로 교점 수만으로 접선이라고 결론 내릴 수 없다.
대입한 방정식의 x²항이 없어져 일차방정식이 됐다. 이차방정식의 중근으로 한 교점을 얻은 상황과 다르다. ℓ의 기울기1은 쌍곡선의 점근선 y=x와 같은 기울기이기도 하다.
(1,0)에서의 접선 공식 x₁x−y₁y=1을 적용하면 x=1이 나온다. 이 직선을 대입하면 y²=0으로 접점 하나를 갖는다. 두 직선의 교점 수는 같아도 교점이 만들어진 계산 과정은 다르다.
후속 문항은 y=x+k를 대입하여 k≠0일 때 항상 한 교점임을 확인한다. k=0이면0=1이 되어 교점이 없다. 한 교점이라는 계산과 접선이라는 결론을 따로 채점한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Classifying Conic Sections Flow Chart」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.