마지막에 원점인 것과 중간에 원점을 지난 것은 다르다

0에서 시작해 공정한 동전을 독립적으로 4번 던져 앞면이면 +1, 뒷면이면 −1씩 움직입니다. 마지막 위치가 0일 확률은 3/8, 출발 뒤 한 번이라도 0을 방문할 확률은 5/8입니다. 시작점을 방문 횟수에 넣지 않습니다.

\text{시작0, 공정한 동전 앞면이면}+1,\quad\text{뒷면이면}-1

서로 독립적으로4번 던져 이동한다. A는4번 이동 뒤 위치가0인 사건, B는첫 이동 이후4번 안에 한 번이라도0에 도착한 사건이다. P(A), P(B)를 비교하라.

P(A)=\frac{\binom42}{16}=\frac38

2번 이동 뒤0이면 이후 경로와 관계없이 B다. 이 경우는8개의 네 번 경로다. 처음 두 이동이 같은 방향이고 이후 두 이동이 반대 방향인 경로 ++−−와 −−++도4번에 처음0에 도착한다. 따라서 B는10개 경로로 확률5/8이다.

시작 위치0은 B의 방문 횟수에서 제외한다는 조건을 문제지에 남긴다. 이를 빼면 시작할 때 이미0이므로 B의 확률은1이 되어 질문이 달라진다. 사건의 시간 범위가 계산에 직접 영향을 준다.

후속 질문은 A가 B의 부분집합인지 확인하게 한다.4번에0이면 기간 안에0을 방문했으므로 맞다. 그래서 확률도P(A)≤P(B)여야 한다. 계산 전 이 포함관계로 결과를 검토할 수 있다.