D,E,F는 각각 삼각형 ABC의 변 AB,BC,CA의 중점이다. A,B,C의 좌표를 구하고, 중점 조건을 다시 대입해 확인하라.
위치벡터를 소문자로 쓰면 2d=a+b,2e=b+c,2f=c+a다. 첫째와 셋째 식을 더하고 둘째 식을 빼면2a=2d+2f−2e이다.
같은 방법으로 B=D+E−F=(3,−1),C=E+F−D=(5,3)을 얻는다. 점의 좌표를 더하고 빼는 표기는 여기서 각 점의 위치벡터 성분을 계산한다는 뜻이다.
AB의 중점은 (1,1),BC의 중점은 (4,1),CA의 중점은 (2,3)이다. 구한 점을 그림에 찍기만 하지 않고 처음의 세 조건을 모두 회복했는지 확인한다.
A,C의 y좌표는3이고 AC의 길이는6이다. B의 y좌표는−1이므로 삼각형의 높이는4, 넓이는12다. 중점 삼각형 DEF의 넓이는3으로 원래 삼각형 넓이의1/4이다.
중점 세 점이 일직선에 있으면 위 계산으로 세 꼭짓점도 일직선에 놓여 삼각형이 되지 않는다. 삼각형을 구성하는 문항을 준비할 때 이 조건도 검산한다. 세 식을 풀었다는 사실과 실제 삼각형이 만들어졌다는 사실은 각각 확인해야 한다.
출처·착안: Mark Chubb, 「An Example of Teaching THROUGH problem solving?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.