등차수열 두 개를 더하면 등차, 곱해도 등차일까

aₙ=n+1, bₙ=2n−1, n은 자연수입니다. 항별 합은 3n으로 공차 3인 등차수열입니다. 곱은 2n²+n−1, 인접 차는 4n+3이라 등차가 아닙니다. 한쪽이 상수 수열이면 곱도 등차가 될 수 있어, 이번 반례를 모든 곱의 결론으로 넓히지 않습니다.

a_n=n+1,\quad b_n=2n-1,\qquad n=1,2,\ldots

항별 합과 곱도 모두 등차수열일까?

연산	첫 세 항	일반항	뒤항−앞항
합	3,6,9	3n	3
곱	2,9,20	2n²+n−1	4n+3

합은 공차 3인 등차수열이다. 곱의 인접 차는 번호에 따라 바뀌어 등차수열이 아니다. 합의 성질을 곱에 그대로 옮긴 줄을 고치자.

한쪽을 모든 항이 2인 수열로 바꾸면 항별 곱은 2n+2로 다시 등차가 된다. 따라서 항별 곱은 항상 등차라는 주장을 반박한 뒤, 모든 곱이 등차가 아니라고 넓히지도 않는다. 반례 하나와 모든 경우의 증명을 구별한다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Sequences」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.