두 근을 찾았는데 부등식의 답이 되지 않는 이유

x^2-x-6<0

학생 답: “ $(x-3)(x+2)=0$ 이므로 $x=3$ 또는 $x=-2$ 입니다.” 어느 줄까지 활용하고, 어느 줄을 바꿀까?

두 근을 구한 계산은 쓸 수 있다. 그러나 주어진 조건은 식의 값이 0이라는 뜻이 아니다. 두 근은 식의 부호를 확인할 구간을 나누는 경계다.

대입할 값	두 인수의 부호	곱의 부호
$x=-3$	음수, 음수	양수
$x=0$	음수, 양수	음수
$x=4$	양수, 양수	양수

각 인수는 자신의 근을 지나야 부호가 바뀐다. 따라서 경계 사이에서는 계속 음수이고, 답은

\boxed{-2<x<3}

이다. $x=-2,3$ 을 넣으면 0이므로 ‘0보다 작다’는 조건을 만족하지 않는다. 그래프를 함께 그리면 $a=1>0$ 인 아래로 볼록한 포물선에서 $x$ 축 아래에 있는 부분을 읽는 일이 된다.

교사가 함께 검토할 갈림길은 두 근을 구하는 단계를 틀렸다고 할지, 그 다음 해석을 고칠지다. 학생에게 경계값과 구간 안의 값 하나를 각각 원래의 식에 넣게 하면 오류의 위치가 드러난다. 해외 글도 경계값을 찾은 뒤 최종 범위를 쓰는 과정의 실수를 다룬다. 새 문항에서는 계산이 맞는 학생 답을 먼저 주어 그 구분을 묻게 했다.

마지막으로 부등호만 $\le$ 로 바꾼다. 경계에서 0이 허용되므로 답은 $-2\le x\le3$ 이다. 두 근은 같아도 끝값을 포함하는지는 부등호가 결정한다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Inequalities」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.