음수로 나눈 순간, 부등호는 어느 쪽을 가리킬까

풀이 A: $(x-3)(x+2)\ge0$, 따라서 $x\le-2$ 또는 $x\ge3$.

풀이 B: $(x-3)(x+2)\le0$, 따라서 $-2\le x\le3$.

두 풀이가 갈라진 바로 그 줄을 찾자. 원래의 식은 $-2(x-3)(x+2)$이다. 양변을 음수 $-2$로 나누면 부등호의 방향을 바꾸어야 하므로 B가 맞다. $x=0$을 원래의 식에 넣으면 $12\ge0$이 참이다. 0을 제외한 A의 답은 이 확인 한 번으로도 잘못임을 알 수 있다.

그래프를 사용해도 같은 범위가 나온다. $a=-2<0$이므로 위로 볼록하고, 두 근 $-2,3$ 사이에서 $x$축 위에 있다. 경계에서는 0이 되어 주어진 $\ge$에 포함된다.

해외 글에서는 방정식으로 경계를 찾은 뒤 그래프와 구간 안의 대입을 연결했다. 이 문항은 거기에 음수인 계수를 넣어, 근이 정확해도 범위가 뒤바뀔 수 있게 만들었다. 숫자를 먼저 지우는 습관과 그래프의 방향을 함께 점검할 수 있다.

교사끼리 공유할 지점은 첫 줄에서 부등호를 바꾸게 할지, 0을 넣어 모순을 먼저 발견하게 할지다. 어느 방법이든 마지막에는 음수로 나눌 때의 이유를 학생이 말하게 한다. “두 근 사이니까”만으로 끝내면 다음 식에서 계수의 부호가 달라졌을 때 다시 흔들릴 수 있다.

후속으로 우변을 2로 바꾸면 먼저 $-2x^2+2x+10\ge0$을 풀어야 한다. 기존 경계 $-2,3$을 그대로 사용하는 답은 허용되지 않는다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Inequalities」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.