중근 하나가 수직선을 두 구간으로 나눈다면

(x-2)^2>0

질문: 해를 $x>2$ 라고 쓴 학생에게, $x=1$ 을 대입해 보게 하면 무엇을 고칠 수 있을까?

$x=1$ 이면 좌변은 1이다. 2보다 작은 수도 조건을 만족한다. 실수의 제곱은 음수가 될 수 없고, 0이 되는 경우는 $x=2$ 뿐이다. 따라서 답은

\boxed{x<2\ \text{또는}\ x>2}

다. 이차방정식의 근이 2 하나라고 해서 부등식의 해가 한쪽에만 있는 것은 아니다. $y=(x-2)^2$ 의 그래프는 아래로 볼록하고, 꼭짓점 $(2,0)$ 에서 $x$ 축에 닿는다. 2의 왼쪽과 오른쪽에서 모두 함수의 값이 양수다.

부등호를 하나씩 바꾸어 같은 식을 다시 읽자.

조건	실수 범위에서의 해
$(x-2)^2\ge0$	모든 실수
$(x-2)^2\le0$	$x=2$
$(x-2)^2<0$	해가 없다

해외 글의 구간 확인 방식을 중근이 있는 식에 적용하면, 서로 다른 두 근을 가진 경우의 부호 배열을 그대로 외운 학생을 발견할 수 있다. 새 문항은 경계의 개수와 부호 변화가 늘 일치하는지 묻게 구성했다.

교사가 함께 나눌 갈림길은 수직선을 먼저 그릴지, 제곱이 음수가 될 수 있는지부터 물을지다. 어느 쪽이든 “근을 지나면 항상 부호가 바뀐다”는 설명을 그대로 남겨 두지 않는다. 이 식에서는 중근을 지나도 부호가 바뀌지 않는다. 네 조건의 답을 한 번에 외우게 하기보다, 0이 되는 때와 양수가 되는 때를 나누어 말하게 하면 각 부등호를 다시 읽을 수 있다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Inequalities」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.