모든 실수에서 양수라는 조건, 등호 하나가 바꾼다

실수 $k$의 범위를 구하자. 한 학생은 $k=4$를 포함했다. $x=2$가 그 답을 어떻게 바꿀까?

제곱 부분의 최솟값은 0이고, 그 값은 $x=2$에서 실제로 얻는다. 식 전체의 최솟값은 $k-4$다. 모든 $x$에서 0보다 크려면 최솟값도 0보다 커야 하므로

이다. $k=4$이면 대부분의 $x$에서 양수지만 $x=2$에서는 0이다. ‘모든 실수’ 조건은 이 한 값도 확인하도록 요구한다. $k<4$에서도 $x=2$를 넣으면 음수이므로 바로 제외할 수 있다.

해외 원문은 식, 그래프, 변화 설명을 함께 맞추는 수업 자료다. 여기서는 카드의 대응 대신, 꼭짓점의 높이와 ‘모든 실수에서 양수’라는 문장을 연결하는 새 문항을 만들었다. 아래로 볼록한 그래프의 꼭짓점이 $x$축보다 위에 있어야 한다는 설명과 위 계산이 같은 조건을 말하는지 확인한다.

교사끼리 나눌 갈림길은 판별식부터 계산할지, $x=2$에서의 값을 먼저 확인할지다. 두 방법 모두 가능한 단원이다. 다만 식의 값이 양수라는 결론에는 계수의 부호도 필요하다. 이 식은 $a=1>0$이어서 최솟값을 읽는 설명이 직접 연결된다.

조건을 $\ge0$으로 고치면 $k\ge4$다. 그래프가 $x$축에 닿아도 허용되는 것이다. 학생이 범위를 쓰기 전에 ‘닿는 경우’가 포함되는지 한 문장으로 설명하게 해 보자.

출처·착안: Shaun Carter, 「Quadratic Vertex Form Card Sort」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.