0으로 시작할 수 있는 번호와 세 자리 자연수

\begin{gathered}\text{숫자 }0,1,2,3,4\text{ 중}\\\text{서로 다른 세 개를 사용한다.}\end{gathered}

A: 세 자리 사물함 번호를 만든다. 0으로 시작해도 된다.

B: 세 자리 자연수를 만든다.

학생이 두 질문에 모두 $5\times4\times3=60$ 이라고 답했다. 어느 조건을 더 읽어야 할까?

A에서는 012도 한 번호다. 첫 자리 5가지, 둘째 자리 4가지, 셋째 자리 3가지이므로 $\boxed{60}$ 가지다. B에서 012는 세 자리 자연수가 아니다. 백의 자리에는 0을 쓸 수 없으므로 첫 자리는 4가지다. 첫 자리에 하나를 쓴 뒤에는 0도 사용 가능하므로 다음 자리는 4가지, 마지막 자리는 3가지다.

4\times4\times3=\boxed{48}

A의 60가지에서 0으로 시작하는 경우만 빼도 확인된다. 첫 자리 0을 고정하면 남은 네 숫자 중 두 개를 차례로 쓰므로 $4\times3=12$ 가지다. $60-12=48$ 이 되어 두 계산이 일치한다.

둘째 자리를 3가지로 세는 답에는 첫 자리가 1인 예를 쓰게 한다. 다음 자리에 쓸 수 있는 숫자는 0, 2, 3, 4다. 금지된 것은 첫 자리의 0이지, 모든 자리의 0이 아니다.

출처·착안: Dan Meyer, 「Plates Without States」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.