두 번 적용하면 제자리, 한 번 적용하면 같은 값일까

각 식을 만족하는 실수 $t$를 구하라. 두 조건을 같은 말로 읽는지를 살펴보는 새 확인문제다.

두 번 적용해서 원래 입력으로 돌아온다는 것은, 한 번 적용한 값이 이미 입력과 같다는 뜻이 아니다. $t=2$이면 $2\to-1\to2$가 되어 A은 만족하지만 B는 만족하지 않는다.

학생에게 맡길 한 번의 선택

A의 답을 $1/2$로 쓴 답안에 “다른 값을 하나 골라 두 번 적용해 보라”고 요청한다. 수를 바꿔도 첫 계산이 없어지는 이유를 보게 하는 질문이다.

반대로 B의 답을 모든 실수로 쓰면, 함숫값이 입력과 같아야 한다는 조건을 다시 읽게 한다. 두 화살표가 돌아오는 그림만 보고 한 화살표의 결과도 같다고 판단했는지 확인한다.

$f\circ f$는 실수 전체에서 항등함수다. 그러나 $f$ 자체가 항등함수인 것은 아니며, 이 구별은 식 $f(f(t))=t$를 푸는 과정에 그대로 나타난다.

문자 $t$를 특정한 수로만 받아들이는 학생에게는 표의 마지막 칸이 특히 중요하다. 계산 뒤 “모든 실수”라고 쓰는 것이 가능한 이유를 식으로 설명하게 한다.

후속 문항은 정답 수만 바꾸지 않고 “두 번 적용한 함수”와 “한 번 적용한 함수”를 따로 묻는다. 어느 조건을 읽었는지 드러나야 다음 설명도 고를 수 있다.

원문에서 두 번 적용한 함수에 문자를 넣을 때 혼동이 나타난 사례를, 해가 하나인 조건과 모든 실수가 되는 조건의 비교로 확장했다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Functions」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.