분수식의 역함수, 분모보다 먼저 공역을 남긴다

\begin{gathered} f:X\to Y,\quad f(x)=\frac{2x+3}{x-1}\\ X=\mathbb R\setminus\{1\}\\ Y=\mathbb R\setminus\{2\} \end{gathered}

역함수를 구하고, $f^{-1}(2)$ 를 계산할 수 있는지 판단하라. 집합까지 포함해 새로 만든 수업 문항이다.

\begin{gathered} y(x-1)=2x+3\\ (y-2)x=y+3\\ x=\frac{y+3}{y-2}\quad(y\ne2) \end{gathered}

f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}\quad(x\in Y)

원래 함수에서 허용하지 않은 입력은 1이다. 역함수에서 허용하지 않은 입력은 2이며, 원래 함수의 공역이 역함수의 정의역이 된다는 사실과 일치한다.

2를 제외한 이유는 계산에도 남는다

$f(x)=2$ 를 풀면 $2x+3=2x-2$ 가 되어 불가능하다. 또 $y\ne2$ 일 때 얻은 $x=(y+3)/(y-2)$ 는 1이 될 수 없으므로 원래 정의역에 들어간다.

따라서 $Y$ 의 각 원소에는 하나의 $x$ 가 대응한다. 식을 뒤집을 수 있다는 인상만으로 역함수의 존재를 주장하는 대신, 이 문항에서는 공역 전체가 실제로 쓰이는지도 확인한다.

f(0)=-3,\qquad f^{-1}(-3)=0

이 한 쌍은 계산 확인용이다. 한 쌍이 되돌아온다는 사실만으로 모든 입력에서 역함수임을 증명한 것은 아니므로, 앞의 조건 확인을 생략하지 않는다.

학생이 $f^{-1}(2)$ 에 분모가 0인 식을 쓰면 “값을 구하라”는 말부터 고치기보다, 이번 입력이 어디에 속해야 하는지를 표시하게 한다. 계산 불가능한 입력을 문항 안에 함께 둬야 식과 집합을 연결했는지 볼 수 있다.

원래 함수와 역함수의 입력 제한을 각각 색으로 표시하면 어느 집합을 옮겨 적었는지 보인다. 조건이 다른 두 식에서 제외되는 값까지 같다고 쓰지 않았는지 확인한다.

원문의 분수식 역함수 어려움을, 계산·공역·존재 확인을 함께 읽는 답안 검토로 바꾸었다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Functions」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.