원과 위쪽 반원, x 하나에 대응하는 y는 몇 개인가

$x$를 입력, $y$를 대응한 값으로 읽는다. A와 B 중 $[-2,2]$에서 실수 전체로의 함수가 되는 것은 무엇인가?

A는 중심이 원점이고 반지름이 2인 원이다. $x=0$에서 $y=2,-2$ 두 값이 대응하므로 함수가 아니다. B는 같은 입력에서 $y=2$만 대응하고, 주어진 모든 $x$에서 값이 하나씩 정해진다.

그림에 세로선을 그은 뒤 할 말

“세로선이 두 번 만나서”라는 답을 받으면, 그 선의 $x$값과 만나는 두 점의 $y$값을 함께 적게 한다. 이번에는 $(0,2)$, $(0,-2)$를 적을 수 있다.

눈으로 본 판정이 정의와 연결되려면 하나의 입력에 두 값이 대응한다는 문장이 남아야 한다. 원이 매끈한 선으로 이어져 있다는 사실은 함수의 조건을 보장하지 않는다.

B의 끝점 $x=-2,2$에서는 모두 $y=0$이다. 서로 다른 입력의 값이 같아도 함수일 수 있으므로, 이 두 끝점 때문에 B를 지우지 않는다.

B의 치역은 $[0,2]$다. 처음 공역을 실수 전체로 주었다고 함숫값이 모든 실수를 취해야 하는 것은 아니다. 함수 여부와 일대일 대응 여부를 따로 읽을 수 있는 장면이다.

수업용 그림은 원 전체와 위쪽 반원을 따로 표시한다. 제곱근 기호를 붙인 뒤 아래쪽 반원이 빠진 이유도 조건으로 설명하게 하면, 그림의 모양을 외운 답과 식을 읽은 답을 구별할 수 있다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Function Auction Activity」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.