수직인 직선의 기울기를 곱하려다 막히는 문항

실수 $k$에 대하여 두 직선이 수직이 되도록 $k$를 정하라.

$m$은 $y$축에 평행하다. 따라서 $\ell$이 수직이 되려면 $x$축에 평행한 $y=3$이어야 하고, $x$의 계수 $k-1$이 0이 되어야 한다.

곱하기 전에 적을 한 문장

직선 $x=4$에는 실수로 나타낸 기울기를 줄 수 없다. 그러므로 이 문항에서 두 기울기의 곱이 $-1$이라는 식을 곧바로 세우지 않는다.

두 직선이 모두 $y=ax+b$ 꼴로 나타나는 경우와 이번 경우를 구별해야 한다. 학생이 $x=4$의 기울기를 4 또는 0으로 썼다면, 숫자를 다시 계산하기보다 그 직선 위에서 $x$값이 변하는지 확인한다.

일반형의 계수로도 같은 결론을 얻는다. $a_1x+b_1y+c_1=0$, $a_2x+b_2y+c_2=0$인 두 직선의 수직 조건은 $a_1a_2+b_1b_2=0$이다.

이 계산에서는 기울기를 만들려고 0으로 나눌 필요가 없다. 두 직선의 계수는 각각 $(k-1,2)$, $(1,0)$이고, 어떤 $k$에서도 $\ell$은 실제 직선이므로 조건도 빠지지 않는다.

학생에게 먼저 두 직선을 그리게 하면, 수직을 이루는 방향은 알면서 기울기 숫자에서 막힌 답도 찾을 수 있다.

수업에서는 기울기를 구할 수 없는 경우를 한 편에 한 문항 정도 섞어 둔다. 규칙을 잘 기억한 학생도 적용 조건을 확인하는지 볼 수 있다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Linear Graphs」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.