제곱을 없앴는데 부호가 바뀐다: 제곱근 답안의 한 조건

이 등식은 모든 실수에서 성립하는가? 성립하는 $x$의 범위를 구하고, 왼쪽을 모든 실수에 맞는 식으로 나타내라.

한 값만으로도 “모든 실수”라는 주장은 거짓임을 확인할 수 있다. 제곱근 기호로 나타낸 값은 음수가 아니므로, 오른쪽의 부호까지 같아야 등식이 성립한다.

따라서 처음 등식은 $x\ge0$일 때 성립한다. $x=0$도 두 값이 0으로 같으므로 경계에 포함한다.

지수를 줄이는 계산 앞에 적을 것

학생이 제곱과 제곱근이 사라진다는 이유만 적으면, $x$가 음수일 때 $x^2$에서 사라졌던 부호가 어떻게 처리되는지 묻는다. 음수가 될 수 없는 왼쪽과 $3x$의 값을 나란히 적게 한다.

$(x^2)^{1/2}=x$라는 식을 모든 실수에서 쓰지 않는다. 밑과 지수의 조건을 확인하며 규칙을 적용하는 일과, 음수가 될 수 있는 문자를 제곱했다가 제곱근으로 나타내는 일은 조건이 다르다.

교사는 양수와 음수의 두 대입값을 함께 준비한다. $x=2$만 넣으면 두 식이 모두 6이 되어 조건을 빠뜨린 답도 맞아 보이기 때문이다.

해설에서는 절댓값 기호를 한 번 더 외우게 하는 대신, $x<0$일 때 $-3x>0$라는 사실을 남긴다. 나눠 쓴 두 식이 왜 필요한지 부호로 설명할 수 있어야 한다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Teaching Indices」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.