같은 0.1 개선, 어느 부품을 바꾸면 더 효과적일까

\begin{aligned} &\text{작동 사건 }(A\cup B)\cap C,\\ P(A)&=P(B)=0.5,\quad P(C)=0.8. \end{aligned}

세 부품은 서로 독립이고 개선 뒤에도 독립을 유지한다. 같은 비용으로 한 부품의 작동 확률을 0.1 높일 수 있다. A와 C 중 전체 작동 확률을 더 크게 높이는 쪽은?

\begin{array}{c|cc} &\text{전체 확률}&\text{증가량}\\\hline \text{처음}&0.75(0.8)=0.6&\\ A\text{ 개선}&0.8(0.8)=0.64&0.04\\ C\text{ 개선}&0.75(0.9)=0.675&0.075 \end{array}

따라서 C를 개선하는 편이 더 크다. A 또는 B 중 하나와 필수 부품 C가 모두 작동해야 한다는 구조 때문에 같은 0.1이 다른 증가량을 만든다.

A 개선에서 A∪B는 1−0.4×0.5=0.8이고, C 개선에서는 기존 0.75가 유지된다. 바꾼 부분과 유지한 부분을 식에 표시하자. 목표는 부품 자체의 확률이 아니라 전체 작동 확률의 증가량이다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#69 More probability questions」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.