영벡터가 아닌 두 벡터, 계수도 각각 비교할 수 있을까

\vec a=(1,2),\quad\vec b=(2,4),\quad s\vec a+t\vec b=\vec a+\vec b

s,t는 실수다. 예시 답안: “a,b가 모두 영벡터가 아니므로 s=t=1이다.” 가능한 모든 (s,t)를 구하고, 해가 (1,1)뿐이도록 b를 (2,3)으로 바꾸어 비교하라.

첫 조건에서는 b=2a다. 따라서 (s+2t)a=3a이고 a는 영벡터가 아니므로 s+2t=3이다. (1,1)뿐 아니라 (3,0),(−1,2) 등 무한히 많은 해가 있다.

b=(2,3)일 때는 성분별로 s+2t=3,2s+3t=5가 된다. 첫 식을2배하여 둘째 식을 빼면 t=1이고 s=1이다. 두 성분 조건이 다른 정보를 준다.

교사는 각 벡터가 영벡터가 아닌 조건과 두 벡터가 서로 실수배가 아닌 조건을 구별한다. 첫 예시의 두 벡터는 모두 영벡터가 아니지만 같은 방향이다. 계수를 각각 비교한 풀이는 이 관계를 확인하지 않았다.

예시 답안의 (1,1)은 실제로 옳은 해다. 틀린 부분은 해가 오직 하나라는 결론이다. 대입으로 맞는 해 하나를 찾는 것과 모든 해를 구하는 것을 분리해 채점한다. 후속 문항에서도 숫자보다 두 벡터의 실수배 관계를 먼저 준비한다.