A,B,C,D를 차례로 이은 사각형에서 AC=BD를 확인하라. “두 대각선의 길이가 같으므로 직사각형”이라는 예시 답안은 맞는가?
대각선 길이는 같다. 그러나 AB=(4,0),AD=(1,2)의 내적은4로0이 아니다. A의 각이 직각이 아니므로 이 사각형은 직사각형이 아니다.
대각선 길이가 같은 평행사변형이면 직사각형이라고 결론 낼 수 있다. 예시 답안에는 평행사변형이라는 전제가 없다. 실제로 AC의 중점은 (3/2,1),BD의 중점은 (5/2,1)로 서로 다르다.
평행사변형의 이웃한 두 변을 u,v로 놓으면 대각선은 u+v,u−v로 나타낼 수 있다. 두 길이가 같으면 |u+v|²−|u−v|²=4u·v=0이다. 따라서 이웃한 변이 수직이라는 결론이 나온다.
교사는 반례의 길이 계산과 결론의 실패를 둘 다 확인한다. 반례가 주어진 조건부터 어기면 주장을 반박하지 못한다. 이 좌표에서는 대각선 길이 조건은 지키면서 직각 조건만 실패한다.
출처·착안: Mark Chubb, 「How many do you see? (Part 1)」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.