같은 네 점을 A→B→C→D→A와 A→C→B→D→A의 순서로 각각 이어라. “네 점이 같으므로 두 그림 모두 같은 직사각형”이라는 예시 주장을 검토하라.
첫 연결은 이웃한 변이 수직인 직사각형이다. 둘째 연결에서는 AC와 BD가 (2,3/2)에서 서로 교차한다. 점의 위치는 같지만 어느 점을 변으로 연결했는지가 달라졌다.
직사각형 ABCD라는 이름은 A,B,C,D를 차례로 연결하는 조건을 담고 있다. 네 좌표의 목록만 읽고 차례를 버리면, 변과 대각선의 역할이 뒤바뀐다. 둘째 그림에서 AC는 연결한 변이지 첫 그림의 역할을 그대로 쓰는 대각선이 아니다.
0≤s,t≤1로 놓자. 교차 여부는 AC 위의 점 (4t,3t)와 BD 위의 점 (4−4s,3s)를 같게 놓아 확인한다. t=s=1/2여서 두 선분 내부에서 만난다. 그림의 인상만으로 교차했다고 주장할 필요가 없다.
후속 질문은 두 연결 중 어느 것이 보통의 직사각형 이름에 맞는지 이유를 적게 한다. 둘째 그림을 무조건 처음 그림의 넓이12로 처리하기 전에 어떤 영역의 넓이를 묻는지 정의해야 한다. 좌표를 잘 계산한 학생도 변의 순서와 도형의 이름을 연결했는지 확인할 수 있다.
출처·착안: Mark Chubb, 「An Example of Teaching THROUGH problem solving?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.