방향의 내적은0, 두 직선의 교점은 있는가

\begin{aligned}\ell:(x,y,z)&=(0,0,t),\\m:(x,y,z)&=(1,s,0),\quad s,t\in\mathbb R\end{aligned}

방향이 이루는 각과 교점 유무를 각각 구하자. 내적 0이면 실제로 만나서 직각을 이루는가?

방향벡터는(0,0,1),(0,1,0)이다. 내적 0, 크기 1이므로 방향의 각은 90도다. 그러나 교점의 x좌표를 비교하면 0=1이 필요하여 불가능하다. 평행하지도 만나지도 않는 꼬인 위치다.

각 계산을 남기고 교점 결론에 x좌표 조건을 더 쓰게 하자. m을(0,s,0)으로 바꾸면 방향과 각은 그대로이고 원점에서 만난다. 공간 직선의 각은 평행이동하여 만나게 한 직선으로 생각할 수 있으므로, 방향 계산과 점의 위치를 별도로 확인한다.