공간 삼각형의 정사영, 같은 넓이라고 읽은 답안

A(3,0,0),\qquad B(0,3,0),\qquad C(0,0,3)

삼각형 ABC의 원래 넓이와 xy평면 정사영 넓이를 구하자. 두 넓이를 모두 9/2로 쓴 답안은 어디를 고쳐야 할까?

\begin{aligned}AB&=BC=CA=3\sqrt2,\\S&=\frac{\sqrt3}{4}(3\sqrt2)^2=\frac{9\sqrt3}{2}.\end{aligned}

정사영 꼭짓점은(3,0,0),(0,3,0),(0,0,0)이어서 S′=9/2다. xy좌표로 얻은 9/2는 정사영 넓이로 맞지만 원래 삼각형의 넓이가 아니다.

넓이 비 S′/S=1/√3은 평면 x+y+z=3과 xy평면이 이루는 예각의 코사인과도 같다. 법선벡터(1,1,1)의 크기√3을 분모에 남기자. 서로 다른 도형의 변 길이와 직각 표시를 섞지 않는다.

출처·착안: Mark Chubb, 「Can you visualize this?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.