수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

한 변의 각이60도, 삼각형의 넓이는12로 정해질까

A(0,0,0), B(4,0,0), C₁(0,3,3√3), C₂(1,3,√30)입니다. 두 정사영 넓이6, ACᵢ와 xy평면 각60도는 같지만 원래 넓이는12와2√39입니다. 넓이 공식에 필요한 각은 두 평면의 각입니다.

A(0,0,0),B(4,0,0),C1(0,3,33),C2(1,3,30) \begin{aligned}A(0,0,0),\quad B(4,0,0),\\C_1(0,3,3\sqrt3),\quad C_2(1,3,\sqrt{30})\end{aligned}

두 정사영 넓이는 6이고 ACᵢ와 xy평면의 각은 모두 60도다. 원래 두 넓이도 6/cos60도=12로 같을까?

계산 ABC₁ ABC₂
ACᵢ의 정사영 길이/원래 길이 3/6=1/2 √10/√40=1/2
AB에 수직인 높이 6 √39
원래 넓이 12 2√39

한 변의 각은 같지만 원래 넓이는 다르다. C₂의 x성분 1은 밑변 방향이라 높이에 넣지 않는다.

넓이 공식 S′=Scosθ의 θ는 도형을 포함하는 평면과 xy평면의 각이다. C₁에서는 AC₁이 AB에 수직이지만 C₂에서는 그렇지 않다. 변의 각과 평면의 각을 구별하고, 같은 조건에서 답이 다른 두 좌표를 문항 검산에 사용한다.

출처·착안: Mark Chubb, 「Can you visualize this?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.