법선벡터가2배인 두 평면, 같은 평면이라는 결론의 조건

\begin{aligned}\alpha&:x+y+z=3,\\\beta&:2x+2y+2z=6,\\\gamma&:2x+2y+2z=7\end{aligned}

법선벡터가 2배라는 이유로 β,γ가 모두α와 같다고 할 수 있을까?

β의 식 전체를 2로 나누면 α다. γ는 오른쪽이 7/2여서 다른 평면이다. α 위(3,0,0)을 γ에 대입해도 6≠7로 확인된다.

d(\alpha,\gamma)=\frac{|2\cdot3-7|}{\sqrt{2^2+2^2+2^2}} =\frac1{2\sqrt3}.

법선 방향은 같지만 위치는 다르다. x,y,z의 계수만이 아니라 상수항까지 같은 배율인지 표시하게 하자.

γ의 오른쪽을 6으로 고치면 거리 0인 같은 평면이 된다. 이때 법선벡터가 영벡터가 되는 것은 아니다. 방향 조건과 한 점의 포함 조건을 끝까지 구별한다.