두 인수 조건을 동시에 만족하는 이차식

$Q(x)$는 $P(x)$의 인수 $x+1$과 $R(x)$의 인수 $x+3$으로 각각 나누어 떨어진다. 실수 $a$를 구하시오.

각각의 조건을 한 줄씩

두 조건이 같은 값을 준다. 하나만 풀고 답을 쓰는 것과 나머지 조건까지 맞는지 확인하는 것은 다르다. 두 줄이 서로 다른 값을 준다면 문항의 조건 자체가 함께 성립할 수 없음을 살펴야 한다.

Sarah Carter의 퍼즐은 이웃한 식이 인수를 공유하는 조건을 연결한다. 여기서는 도형의 빈칸을 복제하지 않고, 세 이차식 사이의 두 조건을 동시에 확인하는 문항으로 만들었다.

교사가 공유할 갈림길은 “$a$를 구했는가?” 다음의 두 인수 조건이 정말 모두 성립하는가다. 예를 들어 $Q(x)$의 상수항을 4로 바꾸면 첫 조건에서는 $a=5$, 둘째 조건에서는 $a=13/3$이 나온다. 그런 $a$는 없으며, 계산 실수라고 몰아가지 않도록 조건을 되짚는다.

학생에게 마지막 세 곱을 쓰게 하면 대입으로 구한 값과 인수분해의 모양을 함께 확인할 수 있다. 두 경로가 연결되는 짧은 답안으로 수업 자료를 준비해 보자.

출처·착안: Sarah Carter, 「Shared Factors – A Quadratics Puzzle」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.