두 합이 같다는 주장을 검토하자. n=4에서 더하는 항부터 쓰자.
| 합 | 실제 전개 | 값 |
|---|---|---|
| A₄ | 4+4+4+4 | 16 |
| B₄ | 1+2+3+4 | 10 |
Aₙ에서는 k가 바뀌어도 더할 n은 고정이다. 따라서 Aₙ=n², Bₙ=n(n+1)/2다. 두 값이 같으면 n(n−1)=0이므로 자연수에서는 n=1뿐이다.
k를 j로 바꾸어도 역할을 유지하면 값은 같다. 고정한 n까지 j로 바꾸면 다른 합이다. 후속으로 Σ의 아래 k=1, 위 n을 그대로 두고 안을 n²으로 바꾸면 n개의 n²을 더해 n³이 된다. 항의 값과 항의 개수를 따로 읽게 하자.
출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Sequences」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.