등차수열에서 항을 골랐는데 새 공차가 같지 않다

aₙ=4n−3, bₙ=a_(2n), cₙ=a_(n²)이며 n은 자연수입니다. b의 일반항은 8n−3, 공차는 8입니다. c는 4n²−3, 인접 차는 8n+4라 등차수열이 아닙니다. 번호를 두 배로 고르는 a₂ₙ과 값을 두 배로 하는 2aₙ도 서로 다릅니다.

\begin{aligned} &a_n=4n-3,\quad b_n=a_{2n},\\ &c_n=a_{n^2},\quad n=1,2,\ldots \end{aligned}

b,c도 공차 4인 등차수열이라는 답안을 검토하자.

수열	첫 세 항	일반항	뒤항−앞항
b	5,13,21	8n−3	8
c	1,13,33	4n²−3	8n+4

b는 번호를 2씩 건너가므로 공차 8이다. c는 번호의 차가 2n+1로 바뀌어 인접 차도 일정하지 않다. 원래 수열이 등차라는 사실만으로 어떤 항 선택도 등차가 되는 것은 아니다.

a_{2n}=8n-3\ne8n-6=2a_n.

번호를 두 배로 고르는 것과 값을 두 배로 만드는 것도 다르다. 아래첨자를 먼저 읽고 원래 번호와 고른 값의 두 행을 따로 확인하게 하자.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Sequences」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.