넓이는 양수인데 두 길이는 음수인 해

이 조건을 만족하는 실수 $x$를 구하시오. 실제 측정 자료가 아닌 수업용 문항이다.

식을 세우기 전에 길이의 조건

두 변의 길이는 모두 양수여야 하므로 $x+3>0$, $x-1>0$, 즉 $x>1$이다.

$x=-6$이면 두 식의 값은 $-3,-7$이다. 곱은 21이지만 변의 길이가 될 수 없다. $x=4$에서는 두 길이가 7cm, 3cm이므로 조건을 모두 만족한다.

Sarah Carter가 소개한 넓이 퍼즐은 길이와 이차식을 함께 읽도록 한다. 새 문항에서는 두 해를 넣으면 모두 곱은 21이지만, 두 길이가 양수인 해는 하나다. 이 조건이 방정식의 해 하나를 제외한다.

교사가 함께 검토할 답안

“넓이가 양수라서 괜찮다”라는 예시 답안에는 곱의 부호만 확인한 생각이 남아 있다. 각 길이를 따로 적도록 요청하면 계산이 맞는데도 문맥의 조건을 놓친 지점이 보인다. 무조건 음수인 $x$를 제외하는 규칙으로 설명하지도 않는다. 길이를 나타내는 식에 넣었을 때 양수인지가 판단 기준이다.

후속 문항은 길이를 $x+8$, $x+4$로 정할 수 있다. 이때는 음수인 $x$도 양의 길이를 만들 수 있다. 교사끼리 문항을 바꿀 때 답의 부호와 길이의 부호를 분리해 확인해 보자.

출처·착안: Sarah Carter, 「Quadratic Area Puzzles」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.