등차수열의 제2항과 제7항이 같으면 모든 항도 같은가

등차수열 aₙ에서 a₂=a₇=5입니다. 두 식의 차가 5d=0이므로 공차는 0, 모든 항은 5입니다. 등차수열 조건을 지우면 bₙ=5+(n−2)(n−7)은 b₂=b₇=5인데 b₁=11입니다. 서로 다른 번호와 일정한 차라는 조건을 함께 씁니다.

\{a_n\}\text{은 등차수열},\qquad a_2=a_7=5

모든 항이 5라는 결론은 맞을까? 등차수열이라는 조건을 지운 경우도 확인하자.

\begin{aligned} &a+d=5,\quad a+6d=5,\\ &5d=0\Rightarrow d=0,\quad a=5. \end{aligned}

따라서 모든 항이 5다. 공차 0도 일정한 차이므로 등차수열에서 제외하지 않는다.

조건을 지우면 bₙ=5+(n−2)(n−7)은 b₂=b₇=5지만 b₁=11이다. 같은 두 값만으로 모든 값이 같아지지 않는다.

서로 다른 번호 m,n에서 aₘ−aₙ=(m−n)d를 쓰는 것이 증명의 핵심이다. a₂=a₂만 주면 공차는 정해지지 않는다. 번호가 다르다는 조건과 등차수열의 정의를 함께 남기게 하자.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Sequences」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.