수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

홀수와 짝수 번호의 항이 각각 등차면 전체도 등차일까

a₂ₙ₋₁=1+4(n−1), a₂ₙ=b+4(n−1), n=1,2,…, b는 실수입니다. 전체 수열이 등차이려면 두 인접 차 b−1과 5−b가 같아 b=3, 공차는 2입니다. b=4면 1,4,5,8,…의 차가 3,1로 번갈아 바뀝니다. 홀수·짝수 목록의 공차 4만으로 전체를 판정하지 않습니다.

a2n−1=1+4(n−1),a2n=b+4(n−1),n=1,2,…,b∈R \begin{aligned} &a_{2n-1}=1+4(n-1),\\ &a_{2n}=b+4(n-1),\\ &n=1,2,\ldots,\quad b\in\mathbb R \end{aligned}

전체 수열이 등차수열일 모든 b를 구하자. 홀수 번호와 짝수 번호의 항을 따로 모으면 둘 다 공차 4라는 사실만으로 충분할까?

인접한 차를 두 종류로 나누면

a2n−a2n−1=b−1,a2n+1−a2n=5−b. \begin{aligned} &a_{2n}-a_{2n-1}=b-1,\\ &a_{2n+1}-a_{2n}=5-b. \end{aligned}

이 값들이 같아야 하므로 b−1=5−b, 즉 b=3이다. 이때 두 차가 모두 2여서 모든 인접 차가 일정하고, aₙ=2n−1인 등차수열이다.

b=4에서는 1,4,5,8,9,12,…로 인접 차 3과 1이 번갈아 나타난다. 각각의 항 목록이 등차여도 전체는 아니다. 두 목록 안의 차와 두 목록을 번갈아 잇는 차를 따로 쓰게 하자. 후보를 구한 뒤 모든 번호에서 충분한 조건인지 끝까지 확인한다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Sequences」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.