수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

분산의 합 공식이 맞았다고 두 변수가 독립일까

X=−1,0,1을 각각 확률 1/3로 갖고 Y=X²입니다. V(X)=2/3, V(Y)=2/9, V(X+Y)=8/9라 분산 합은 맞습니다. 그러나 P(X=0,Y=0)=1/3과 두 확률의 곱 1/9는 달라 독립이 아닙니다. 공식이 맞은 결과와 그 전제의 증명을 구별합니다.

P(X=−1)=P(X=0)=P(X=1)=13,Y=X2 \begin{aligned} &P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=\frac13,\\ &Y=X^2 \end{aligned}

분산의 합이 맞으면 두 변수가 독립이라는 주장을 검토하자.

X −1 0 1
Y 1 0 1
X+Y 0 0 2

V(X)=2/3, V(Y)=2/9이고, 합의 평균은 2/3, 제곱의 평균은 4/3이다.

V(X+Y)=43−(23)2V(X+Y)=89=V(X)+V(Y). \begin{aligned} &V(X+Y)=\frac43-\left(\frac23\right)^2\\ &\phantom{V(X+Y)}=\frac89=V(X)+V(Y). \end{aligned}

그런데 P(X=0,Y=0)=1/3은 P(X=0)P(Y=0)=1/9와 다르다. 분산식은 맞지만 두 변수는 독립이 아니다.

분산을 더할 수 있는 충분한 조건을 계산 결과에서 거꾸로 증명하지 않는다. 맞은 분산 계산을 남기고 독립을 확인할 사건 한 쌍의 곱을 별도로 비교하게 하자.

출처·착안: Allan Rossman, 「#6 Two dreaded words, part 1」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.