등식은 맞는데 몫과 나머지로는 틀린 답

\begin{gathered}P(x)=x^3+2x^2+4x+1\\\text{나누는 식 }x^2+1\end{gathered}

예시 답안	몫	나머지
A	$x+1$	$x^2+3x$
B	$x+2$	$3x-1$

두 답안을 각각 곱셈으로 확인하고, 몫과 나머지로 적절한 답을 고르시오.

둘 다 원래의 다항식이 된다

(x^2+1)(x+1)+(x^2+3x)=P(x)

(x^2+1)(x+2)+(3x-1)=P(x)

등식이 성립하는지만 보면 둘을 구별할 수 없다. 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 낮아야 한다는 조건이 필요하다. A의 나머지는 이차식이므로 $x^2+1$ 로 한 번 더 나눌 수 있다.

x^2+3x=(x^2+1)+(3x-1)

몫에 1이 더해지고 나머지가 $3x-1$ 로 바뀌므로 B가 적절하다. 나머지가 반드시 상수여야 하는 것도 아니다. 이차식으로 나누면 일차식 또는 상수, 0이 남을 수 있다.

Sarah Carter의 2015 글에서는 학생이 이미 푼 계산의 오류를 찾는 문제를 제안했다. 여기서는 곱셈 검산을 통과하는 두 답을 놓아, 마지막에 어떤 조건을 더 확인해야 하는지 드러냈다.

교사끼리 나눗셈 답안의 채점 기준을 공유할 때 ‘곱하면 맞음’과 나머지의 차수 조건을 만족함을 따로 남겨 보자. 계산 과정의 부호만 점검하면 이번 A처럼 그럴듯한 답을 놓칠 수 있다.