최댓값이 6일 확률, 두 번의 1/6을 더하면 끝일까

\begin{aligned} &D_1,D_2:\text{독립인 공정한 주사위 눈},\\ &X=\max(D_1,D_2) \end{aligned}

X=6일 확률을 구하고 두 번의 1/6을 더해 1/3이라는 답안을 검토하자. 전체 분포도 구하자.

P(X=6)=\frac16+\frac16-\frac1{36}=\frac{11}{36}.

(6,6)을 두 번 센 부분을 뺀다. 최댓값이 k 이하이면 두 눈 모두 k 이하이므로

\begin{aligned} &P(X=k)=P(X\le k)-P(X\le k-1)\\ &\phantom{P(X=k)}=\frac{k^2-(k-1)^2}{36},\\ &k=1,\ldots,6. \end{aligned}

분포는 1,3,5,7,9,11을 각각 36으로 나눈 값이고 합은 1이다. 가능한 값 여섯 개라는 사실만으로 각각 1/6이 되지 않는다.

X=k와 X≤k를 다른 행에 적어 경계의 결과만 남겼는지 확인하자. 후속 평균은 Σ(k=1~6) k(2k−1)/36=161/36이다.