0점부터 100점까지인데 N(50,50²)를 그대로 써도 될까

\begin{aligned} 0&\le S\le100,\\ X&\sim N(50,50^2),\\ P(0\le Z\le1)&=0.3413. \end{aligned}

시험 점수 S가 정확히 X와 같은 분포라는 제안을 검토하자. 모형 X는 점수 범위 밖에 얼마의 확률을 둘까?

두 경계 0과 100의 표준화값은 −1과 1이다. 따라서

\begin{aligned} &P(X<0\ \text{또는}\ X>100)\\ &\quad=2(0.5-0.3413)=\boxed{0.3174}. \end{aligned}

S의 범위 밖 확률은 0인데 X에서는 약 31.74%이므로 정확히 같은 분포일 수 없다. 평균 50이 범위 가운데라는 사실만으로 모형을 확인할 수는 없다.

평균을 50에 두고 양의 표준편차를 줄이면 범위 밖 확률도 줄어든다. 그러나 정규분포에서는 그 확률이 여전히 양수다. 정확한 분포라는 주장과 근사로 사용할 판단을 따로 쓰게 하자. 이번 계산은 불가능한 영역이 모형에서 차지하는 넓이를 확인하는 문항이다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#36 Nearly normal」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.