수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

합성함수, 같은 입력에서도 두 순서는 한 번도 같아지지 않는다

같은 -1을 넣어도 답은 -5와 -3. 합성 순서가 다르면 중간 값부터 달라집니다.

f(x)=2x+1g(x)=x2−4(x∈R) \begin{gathered} f(x)=2x+1\\ g(x)=x^2-4\quad(x\in\mathbb R) \end{gathered}
(f∘g)(−1),(g∘f)(−1) (f\circ g)(-1),\quad(g\circ f)(-1)

두 값을 구하고, 두 합성함수의 함숫값이 같아지는 실수 xx가 있는지 판단하라. 수업에서 순서를 확인하려고 만든 새 문항이다.

입력을 두 번 보내기

−1→g−3→f−5−1→f−1→g−3 \begin{gathered} -1\xrightarrow{g}-3\xrightarrow{f}-5\\ -1\xrightarrow{f}-1\xrightarrow{g}-3 \end{gathered}

처음 입력은 같지만 중간 값이 다르다. 학생이 −5-5와 −3-3을 반대로 쓰면 마지막 계산을 다시 시키기 전에, 첫 번째로 적용한 함수에 동그라미를 치게 한다.

(f∘g)(x)=2x2−7(g∘f)(x)=4x2+4x−3 \begin{gathered} (f\circ g)(x)=2x^2-7\\ (g\circ f)(x)=4x^2+4x-3 \end{gathered}
(f∘g)(x)=(g∘f)(x)  ⟺  2{(x+1)2+1}=0 \begin{gathered} (f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)\\ \iff2\{(x+1)^2+1\}=0 \end{gathered}

왼쪽은 모든 실수에서 양수이므로 두 값은 같아지지 않는다. 한 입력에서 결과가 달랐다는 확인과 모든 실수에서 다르다는 결론은 필요한 근거가 다르다.

답안에 남길 두 표시

함수 기호가 왼쪽에 있다고 먼저 적용하는 것은 아니다. f(g(x))f(g(x))에서 안쪽의 g(x)g(x)를 먼저 계산한다는 뜻을 두 화살표가 드러낸다.

교사는 순서가 뒤집힌 답과 전개 과정에서 상수항을 틀린 답을 나눠 볼 수 있다. 첫 화살표가 맞으면 계산을, 첫 화살표부터 다르면 합성의 뜻을 다시 확인한다.

확인문제에서는 한 값만 물은 뒤 끝내기보다 마지막의 존재 여부를 함께 묻는다. 학생이 몇 개의 수를 대입한 결과를 전체 실수에 대한 근거로 쓰는지도 드러난다.

Jo Morgan이 기록한 합성 순서의 오답에 착안했다. 원문의 질문을 옮기지 않고, 두 경로의 비교와 같아질 가능성까지 묻는 문항으로 구성했다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Functions」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.