95% 신뢰구간 100개, 반드시 95개가 맞아야 할까

\begin{aligned} &\text{같은 모평균의 신뢰구간 100개를}\\ &\text{서로 독립적으로 만든다.} \end{aligned}

각 구간이 모평균 m을 포함할 확률을 정확히 0.95로 가정한다. 포함한 구간 수 K의 평균이 95면 실제 수도 반드시 95일까?

\begin{aligned} K&\sim B(100,0.95),\\ E(K)&=95,\qquad V(K)=4.75. \end{aligned}

포함 수에는 변동이 있다. 100개 모두 포함할 확률도 $\boxed{0.95^{100}>0}$ 이므로 반드시 95개라는 주장은 거짓이다.

반복할 때 고정된 것은 모평균이고 바뀌는 것은 표본과 구간이다. 같은 자료에서 방법만 바꾼 구간 100개에는 독립이 자동으로 성립하지 않는다. 문항에 가정한 포함 확률과 구간 사이 독립을 각각 표시하자.

평균 95를 맞힌 답과 ‘반드시’의 오류를 설명한 답을 나누어 확인한다. 한 묶음에서 93개가 포함됐다는 사실만으로 절차의 신뢰도가 잘못됐다고 결론 내리지 않는다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#14 How confident are you? part 1」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.