길이가 같은 두 구간, 정규분포의 확률도 같을까

\begin{aligned} X&\sim N(10,2^2),\\ P(0\le Z\le1)&=0.3413,\\ P(0\le Z\le2)&=0.4772. \end{aligned}

길이가 4인 [8,12]와 [12,16]의 확률을 비교하자. 같은 길이면 같은 확률일까?

P(8\le X\le12)=P(-1\le Z\le1)=\boxed{0.6826}.

둘째 구간은 1≤Z≤3이다. 표에는 Z=3의 값이 없으므로 이 표만으로 정확한 수치 계산을 끝낼 수 없다. 그래도 이 구간은 Z≥1 전체보다 작으므로

\begin{aligned} P(12\le X\le16)&<0.5-0.3413\\ &=0.1587<0.6826. \end{aligned}

이다. Z>3에도 양의 확률이 있어 첫 부등식은 엄격하다.

정해진 정규모형의 확률과 제공 표로 계산할 수 있는 값을 구별하자. [12,14]라면 두 표 값을 빼서 0.1359를 구할 수 있다. 필요한 값이 없다고 0.5로 채우지 않고, 비교 질문에는 부등식을 이용할 수 있다.

출처·착안: Allan Rossman, 「#36 Nearly normal」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.