지수의 합인가, 두 항의 합인가: 2의 거듭제곱을 묶는 자리

2^{x+1}+2^x=24\qquad(x\in\mathbb R)

실수 $x$ 를 구하라. 다음 두 예시 답안의 첫 변형을 검토하라.

\begin{gathered} \text{A }2^{2x+1}=24\\ \text{B }2\cdot2^x+2^x=24 \end{gathered}

A는 두 항의 더하기를 거듭제곱의 곱으로 읽었다. 지수를 더할 수 있는 식은 $2^{x+1}\cdot2^x$ 이지, 이번처럼 두 항을 더한 식이 아니다.

\text{B: }3\cdot2^x=24\Rightarrow2^x=8=2^3 \Rightarrow\boxed{x=3}

원래의 식에 대입하면 $2^4+2^3=16+8=24$ 다. 밑 2의 지수함수는 증가하므로 같은 값 8이 되는 실수 $x$ 는 하나뿐이다.

법칙 이름보다 연산 기호를 먼저

교사는 “지수는 더한다”라는 짧은 말만 답안 옆에 남기지 않는다. 밑이 같은 두 거듭제곱을 곱할 때의 규칙이라는 조건이 함께 있어야 한다.

학생이 A를 고르면 바로 방정식 계산을 이어가게 하기 전에, $x=0$ 에서 변형 전후의 값을 비교하게 한다. 원래 왼쪽은 3이고 A의 왼쪽은 2여서 같은 식이 아니다.

B에서 $2^{x+1}=2\cdot2^x$ 를 확인한 뒤에는 $2^x$ 두 항을 더한 것으로 읽는다. 큰 거듭제곱의 수치 계산 없이도 식의 구조가 단순해진다.

후속 문항은 더하기를 곱하기로 바꾸어 처음 한 줄만 받아도 된다. 그때는 $2^{2x+1}$ 이라는 변형이 맞아, 학생이 연산 기호를 보고 규칙을 고르는지 확인할 수 있다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Teaching Indices」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.